Skromna propozycja badawcza dla edukacji matematycznej

Napisano wiele tysięcy, a może miliony słów, na rzecz albo „powrotu do podstaw” podejścia do edukacji matematycznej, albo na rzecz bardziej „konstruktywistycznych” podejść. Ta debata jest spolaryzowana, polityczna, a czasem złośliwa, ale jest konieczna. Ta debata rozgrywa się w ciągłym naciskaniu między wcześniejszymi podejściami programowymi (co zadziałało? Co nie zadziałało?) I potrzebą ich odświeżania, gdy przechodzimy do przyszłości.

Dla nauczycieli matematyki ta debata nigdy się nie kończy. W najbardziej redukcyjnym stopniu mamy stały cykl medialny, który ogranicza nauczanie matematyki i naukę testowania wyników, a często tęsknotę za przeszłością, w której uczniowie byli bardziej biegli w posługiwaniu się tabelami czasowymi i liczbami. Redukcyjny ruch argumentacyjny, jaki podejmuje „druga strona”, polega na wyśmiewaniu się z wcześniejszych instrukcji matematycznych jako na wytwarzaniu uczących się „zombie”, którzy są w stanie niewiele więcej, niż wyrzucanie formuł i algorytmów podczas testów.

Z jednej strony mamy rzeczywistą lub postrzeganą utratę „podstawowych umiejętności”, co zwykle oznacza w debacie poprzez natychmiastowe przywołanie, a z drugiej strony mamy pomysł, że nasi uczniowie nie są wystarczająco dobrzy w rozwiązywaniu problemów dla „współczesny świat” lub „przyszłość”.

Warto zauważyć, że ta debata ma kilka pokoleń.

Plus ca zmiana?

Nastrój przedstawiony na poniższym zdjęciu został opublikowany w 1991 roku. Pokolenie później, i wydaje się, że wciąż tkwimy, koła w błocie tej samej debaty.

Nauczanie i uczenie się matematyki rozwijało się na wiele sposobów od 1989 r., Kiedy rozpoczęła się reforma NCTM. Postępował także na wiele sposobów od lat 60. XX wieku, kiedy to wypróbowano (i ostatecznie zrezygnowano) z programów nauczania „nowej matematyki”. To, co wydaje się konsekwentną ścieżką majsterkowania, a nawet nieudaną reformą, jest w rzeczywistości ciągłym udoskonalaniem praktyki nauczania. To znaczy, poprawa programu nauczania i praktyki jest subtelna, ale stała. Samo nauczanie jest sztuką iteracyjną. Dychotomie polaryzacyjne dotyczą polityków, a nie nauczycieli.

Nauczyciele są najlepsi w nauczaniu. To ich sztuka i rzemiosło. Mówiąc najprościej: wcielona wiedza z matematyki i jej nauczanie stale ewoluuje i aktualizuje się, gdy nowi nauczyciele wchodzą do zawodu, a starsi go opuszczają. Występuje stałe i stałe tempo zmian, jakkolwiek powolne. Czas płynie do przodu, podobnie jak my.

Ale badania mogą pomóc w nauczaniu. Ten artykuł jest próbą wskazania drogi do przyszłych rodzajów badań, które mogą być pomocne w praktyce nauczycieli w edukacji matematycznej.

Fałszywa dychotomia?

Interesujący artykuł H. Wu (1999) charakteryzuje debatę na temat podstawowych umiejętności kontra koncepcyjne rozumienie jako „fałszywą dychotomię”.

Długa wycena pomoże uczynić ten punkt:

W edukacji matematycznej ta debata przybiera formę „podstawowych umiejętności lub zrozumienia pojęciowego”. Ta fałszywa dychotomia wydaje się wynikać z powszechnego błędnego przekonania o matematyce ze strony społeczeństwa i środowiska edukacyjnego: że wymaga precyzji i płynności w realizacji podstawowych umiejętności w matematyce szkolnej stoi w sprzeczności z nabywaniem zrozumienia pojęciowego. Prawda jest taka, że ​​w matematyce umiejętności i zrozumienie są ze sobą całkowicie powiązane. W większości przypadków precyzja i płynność w wykonywaniu umiejętności są niezbędnymi środkami przekazu pojęć koncepcyjnych. Z jednej strony nie ma „zrozumienia pojęć” i „umiejętności rozwiązywania problemów”, a „umiejętności podstawowych”.

Autor wyraźnie kwestionuje mit, który jest wszechobecny, że zrozumienie pojęciowe * musi * być najważniejsze. Weź pod uwagę, że zarówno zrozumienie proceduralne (to, co moglibyśmy ogólnie nazwać „umiejętnościami podstawowymi”), jak i zrozumienie pojęciowe są splecione lub wplecione - jak w gruby warkocz liny, gdzie oba pasma są ze sobą płynnie splecione.

Uważam, że nauczyciele, badacze i osoby piszące artykuły do ​​gazet muszą porzucić przekonanie, że jedno musi poprzedzać drugie. Przyszłe badania mogłyby przetestować nabywanie tego, co moglibyśmy ogólnie nazwać „warunkiem proceduralnym” i „warunkiem koncepcyjnym”.

Podajmy na pozór prosty przykład nauczania relacji pitagorejskiej.

Rozważ dwie grupy uczniów idące dwiema ścieżkami instruktażowymi.

Ścieżka instruktażowa pierwsza

  1. Zapisz wzór na tablicy. Wyjaśnij, jak działa ta formuła.
  2. Zadaj uczniom zestaw pytań. Pokaż im, jak przejść do rozwiązania przeciwprostokątnej.
  3. Zmieniaj pytania, uczniowie rozwiązują obie nogi.
  4. Rozwiązywanie nieporozumień i problemów.
  5. Zadawaj uczniom bardziej skomplikowane problemy i oceniaj je na podstawie ich zrozumienia.

Druga ścieżka instruktażowa

  1. Pokaż uczniom geometryczny dowód twierdzenia. Niech przymocują kwadraty do boków prostokątnych trójkątów. Zbadaj znaleziony związek.
  2. Przetłumacz swoje odkrycia na algebrę. „Obraz” utworzony przez reprezentację geometryczną jest tłumaczony na formę algebraiczną.
  3. Pokaż uczniom, jak stosować formułę. Daj im pytania do ćwiczeń.

4. Daj uczniom bardziej skomplikowane problemy i oceń je na podstawie ich zrozumienia.

Zasadniczą różnicą jest tutaj element geometryczny na drugiej ścieżce. Ale ten element może być wykorzystany na pierwszej ścieżce instruktażowej, być może później.

Możesz sam zdecydować, gdzie na ścieżce instruktażowej znajduje się następujący monit. W stronę początku? Badając twierdzenie? Czy na koniec, jako sposób na pobudzenie myślenia uczniów po opanowaniu algebry?

Nasze pytanie badawcze może brzmieć: czy obie te grupy studentów rozumieją relacje pitagorejskie w ten sam sposób i na tej samej głębokości? Jeśli uda nam się wyciągnąć jednoznaczny wniosek z naszego badania, możemy zejść ze strony proceduralnej lub konceptualnej, a jeśli nie, to możemy dojść do wniosku, że punkt końcowy obu grup jest mniej więcej równy. Warto tutaj zauważyć: obie ścieżki mają tak zwane elementy proceduralne i koncepcyjne. Pomiędzy nimi jest prawdziwy ruch do przodu i do tyłu.

Cofanie się do przodu, czyli iteracja między zrozumieniem proceduralnym a koncepcyjnym

Jeśli idziemy tam iz powrotem, i tam iz powrotem między zrozumieniem proceduralnym i konceptualnym, przez pewien okres czasu instruktażowego, nie ma twardych i szybkich barier między tymi dwiema kategoriami.

Dokument Rittle-Johnsona, Sieglera i Alibali (2001) pomaga w tej kwestii i być może wskazuje drogę do przyszłych badań. Zauważają, że zazwyczaj widzimy jeden „typ” wiedzy jako precedens dla drugiego. Autorzy uważają, że nie musi tak być i że jest to bezowocne:

W przeciwieństwie do wcześniejszych badań i teorii, proponujemy, aby w trakcie rozwoju wiedza konceptualna i proceduralna wpływała na siebie nawzajem. W szczególności proponujemy, aby wiedza pojęciowa i proceduralna rozwijała się iteracyjnie, wraz ze wzrostem jednego rodzaju wiedzy prowadzącym do wzrostu drugiego rodzaju wiedzy, co powoduje nowy wzrost w pierwszym.

Projekt badania (w dwóch częściach, n = 74 i n = 59) miał polegać na umieszczaniu ułamków dziesiętnych (ułamki dziesiętne poniżej 1) na linii liczbowej. Scharakteryzowali to zadanie jako proceduralne. Ich wnioski były takie, że wiedza proceduralna stanowiła podstawę wiedzy pojęciowej i na odwrót. Co najbardziej ekscytujące, oba wydawały się wspierać lepszą reprezentację problemów.

Reprezentacja jest wprowadzeniem myślenia; uczniowie muszą mieć sposoby myślenia o pojęciach matematycznych. Naszym celem jest coś więcej niż tylko przeprowadzenie procedury lub po prostu ogólne myślenie o pojęciach matematycznych. Musimy wprowadzić te koncepcje w życie na świecie. Jak zauważają autorzy, wiedza domenowa zawiera zarówno umiejętności, jak i pojęcia.

Badanie wskazuje na pomysł, że reprezentacja jest złożona. Można na przykład pomyśleć o procedurze, która może i powinna być wyjaśniona i przedstawiona. Na przykład traktowanie procedury jako całkowicie odrębnej „rzeczy” od koncepcji jest prawdopodobnie złą rzeczą. Standardowy algorytm mnożenia jest związany pojęciami wartości miejsca i przyjmowaniem produktów cząstkowych, które są następnie sumowane. Nie ma powodu, dla którego nauczanie tej procedury nie może być iteracyjną koncepcją procesu i umiejętnościami związanymi z tym, co nazywamy „uczeniem się algorytmu”.

Przyszłe badania tego rodzaju mogą mieć na celu dalsze badanie, w jaki sposób odbywa się ta iteracja. W jaki sposób procedury i koncepcje działają razem, a nie przeciwko sobie? Zaakceptowanie, że nie muszą ze sobą współpracować, i że rzeczywiście mogą i muszą współpracować, byłoby początkiem.

W jaki sposób procedury i koncepcje współpracują ze sobą, aby stworzyć matematyczne zrozumienie?

Tylko najbardziej hardkorowy dychotomista odmówiłby zaakceptowania w tym momencie wspólnej płaszczyzny. Na tej wspólnej płaszczyźnie pewnego dnia zostanie podpisany zawieszenie broni „Wojny matematyczne”. A przynajmniej będziemy mieli coraz więcej badań, które pokazują, że można nawet spotkać się na wspólnej płaszczyźnie.

Bibliografia:

Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., i Alibali, M. W. (2001). Rozwijanie zrozumienia pojęciowego i umiejętności proceduralnych w matematyce: proces iteracyjny. Journal of Educational Psychology, 93 (2), 346–362.

http://dx.doi.org/10.1037/0022-0663.93.2.346

Wu, H. Umiejętności podstawowe a zrozumienie koncepcyjne. Boguska dychotomia w edukacji matematycznej. American Educator, v23 n3 s. 14–19,50–52, jesień 1999 r

https://math.berkeley.edu/~wu/wu1999.pdf